项目名称“反常扩散和耗散行为的分数阶数学力学建模”
主要完成人：陈文、孙洪广、傅卓佳
完成单位：河海大学
项目及成果简介：
  复杂介质（如土壤、淤泥、裂隙岩体和生物组织等介于理想固体和液体之间的复杂状态物质）的力学行为比普通固体、液体和气体要复杂得多，具有记忆和路径依赖特性，难以用基于梯度变化的经典物理力学模型（例如，Fick 扩散定律、Fourier 热传导定律、自适应瑞利比例阻尼模型等）来描述。
  本项研究主要针对环境力学、岩土力学和生物力学中复杂介质溶质反常扩散过程和声波频率依赖能量耗散过程,开展研究。本项研究基于尺度变换和非常规统计理论，利用分数阶导数建模方法，开展机理试验、力学本构模型和高效数值算法研究，在复杂介质反常扩散和耗散的物理力学机理、数学力学描述手段、快速模拟算法和工程应用方面做出了如下学术贡献：
  1.发展了复杂介质中溶质反常扩散过程的分数阶导数方程模型理论，解释了其物理机理。为了准确描述反常扩散过程的历史依赖性，建立了变导数分数阶扩散模型理论，解释了溶质扩散过程由反常扩散转化为Fick 扩散的形成机理。
  2.提出了环境、岩土和生物领域软物质的声波频率依赖耗散数学力学模型。为了准确刻画声波能量耗散的幂律衰减特征，建立了任意阶频率依赖能量耗散的分数阶拉普拉斯算子波方程模型，实现了医学超声乳腺癌检测的数值模拟。
  3.建立了反常扩散过程尺度效应的机理分析方法及其数学描述。复杂介质中溶质迁移的时间尺度效应分析是经典难题之一。基于尺度变换理论，提出了水分扩散过程的分形导数Richards 方程模型，解释了非Boltzmann 尺度律，准确刻画了时间尺度效应。
  4.提出了快速求解分数阶导数反常扩散方程模型的数值算法。分数阶导数的非局域性导致长时间历程和大计算域问题计算量急剧增大。我们发展的半离散有限元法、边界粒子-拉普拉斯变换法和快速微分求积法，克服了这类方程模型长时间和大空间域难以计算模拟的难题。
  以上所述的成果是2002年以来的系统性工作，得到了国内外知名学者的引用和积极评价，并在一批同行的后续研究中得到推广或应用。研究成果之一的中文专著《力学与工程问题的分数阶导数建模》是第一本分数阶导数力学建模的中文学术专著。
  根据文献检索，项目相关的20篇SCI代表性论文共被引用485次，其中他引396次，并被6本英文他人专著引用，单篇论文他引最高次数为64。
  发表在Computers & Mathematics with Applications, 2010, 59(5), 1754-1758的论文在该杂志2010年至今发表的所有2820篇论文中SCI引用数排名第二十九。
  发表在Physica A-Statistical Mechanics and its Applications, 2009, 388（21）：4586-4592的论文在该杂志2009年至今发表的所有4154篇论文中SCI引用数排名第四。
  发表在International Journal of Bifurcation and Chaos, 2012, 22 (4): 1250085的论文在该杂志2012年至今发表的所有866篇论文中SCI引用数排名第五。
  发表在The European Physical Journal Special Topics, 2011, 193:185–192.的论文在该期刊2011年至今发表的951篇论文中，引用排名第二十。
发现、发明及创新点：
  1.复杂介质中溶质反常扩散过程的分数阶导数方程模型理论和物理机理分析
  2.环境、岩土和生物力学软物质中的声波耗散的频率依赖耗散模型及其应用分析
  3.反常扩散过程尺度效应的机理分析及其数学描述
  4.提出了快速求解分数阶导数反常扩散方程模型的数值算法